4. Математикалық модельдеудегі матрицалар

4.1 Матрица. Декарттых тензордың матрицалық көрінісі

4.2 Диадиктер, тензорлар және матрица симметриясы

4.3 Екінші рангілі симметриялы тензордың бас мәндері және басты бағыттары

4.4 Екінші рангілі тензорлар дәрежесі. Гамильтон – Кэли арақатынасы

4.5 Тензорлық өріс. Тензорлардың дифференциялдануы

4.6 Қисық сызықты интегралдар. Стокс теоремасы. Остроградский - Гаусс теоремасы

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

4.5 Тензорлық өріс. Тензорлардың дифференциялдануы

Кез- келген нүктесіне  тензоры сәйкес қойылса, онда тензорлық өріс берілді деп айтамыз. Егер  - үзіліссіз, дифференциалданатын болса, онда өріс үзіліссіз және дифференциалданады делінеді. Егер  болса, онда өріс  стационарлы. Декарттық  координата жүйесінде

                            ,                                            (1.142)

болса, онда әр түрлі рангілі тензорлар өрісін келесі түрде жазуға болады:

а) скалярлы өріс

                    немесе    ,                   (1.143)

б) векторлық өріс

                    немесе    ,                 (1.144)

в) екінші рангілі тензор өрісі

                    немесе    .                (1.145)

 белгісі x_i – координатасы бойынша дифференциялдауды білдіреді немесе символдық белгілеу бойынша жазсақ:

                            .                               (1.146)

x_i бойынша дербес дифференциалдауды үтірден кейін төменгі индекс арқылы бейнелейді:

а) ,                  б) ,                в) ,

г) ,              д) ,            е) .

– тензордың реті бастапқы тензордыкіне қарағанда 1 – ге артық, яғни дифференциалдау тензор рангін бірге көтереді. – тензордың реті бастапқы тензордыкіне қарағанда 1 – ге кем, яғни - қосындылау индексі болатын болса, тензор рангі төмендейді.

Континуум механикасында жиі қолданылатын бірнеше дифференциалдау операторын келтірейік:

     немесе     ,                  (1.147)

      немесе      ,              (1.148)

       немесе      ,          (1.149)

      немесе      .                  (1.150)